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一橋大学 後期・数学IIIを含む 数学記述模試 第030回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=32,B=32i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(32)=0\)、\(P(-32)=65536\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-64\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（17点）

表の確率が \(1/32\)、裏の確率が \(31/32\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{32+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{32n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　絶対値を含む面積の最適化（16点）

\(0\le a\le32\) とする。\(0\le x\le32\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

第6問　円の弦と三角形の面積の最大化（16点）

円 \\(x^2+y^2=1024\\) の内部の点 \(Q(16,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=16(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=32\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=512\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{16}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{32}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-2048,\quad b=32768} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-32)\(x^2+32x-1024\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=32,16(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{163840} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{1024},\quad P(T=3)=\frac{31}{32768}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/32,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{1056} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(32\) 回なので合計2回の表までの平均は \(64\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=64,\quad\text{差}=992} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{32+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{32+j/n} \]

は \(g(x)=1/(32+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{32+x}\,dx=[\frac23(32+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(33\sqrt{33}-128\sqrt{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{32+x}\,dx=[\log(32+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{33}{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le32\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{32}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-512a+\frac{32768}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(S'(a)=a^2-512\)。定義域内で \(a=32/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=16\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{16384}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=16\) を円の式に代入する。\\(y^2=768\\)。

\[ \boxed{(16,\pm 16\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

直線は \(mx-y-16m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{1024m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{1024-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=32\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le32/2\)。面積の2乗は \(d^2(1024-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(1024-s)\) は \(0\le s\le1024/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=256\sqrt{3},\quad x=16} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。