一橋大学 後期・数学IIIを含む 数学記述模試 第018回
この回のテストポイント
- 第1問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第2問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第3問：抽出方法と条件付き確率
- 第4問：回転軸を変える体積計算
- 第5問：絶対値を含む面積の最適化
- 第6問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-18|=2|z+18|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第2問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=18\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第3問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(18\) 個、青玉 \(36\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第4問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le18\) で曲線 \(y=x(18-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第5問 絶対値を含む面積の最適化（16点）
\(0\le a\le18\) とする。\(0\le x\le18\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=324\\) の内部の点 \(Q(9,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-18)^2+y^2=4((x+18)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(90/3\)、半径は \(72/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-18w|=2|1+18w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=18\)、\(f(1)=-17\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-36t^2=0\) の解は0と \(1/36\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((18-1)/(54-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{36(36-1)}{54(54-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(18-1)<90-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{18}x(18-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(18-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le324/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(18\pm\sqrt{324-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le18\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(S'(a)=a^2-162\)。定義域内で \(a=18/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=9\) を円の式に代入する。\\(y^2=243\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-9m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{324m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{324-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le18/2\)。面積の2乗は \(d^2(324-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(324-s)\) は \(0\le s\le324/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。