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一橋大学 前期・商・経済・法・社会 数学記述模試 第081回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=49\\) の内部の点 \(Q(\frac{7}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=8,\ a_{n+2}=8a_{n+1}-7a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(7-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{147}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第4問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/7\)、裏の確率が \(6/7\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{7}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{147}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{7}{2},\pm \frac{7}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{7}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{49m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{49-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=7\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le7/2\)。面積の2乗は \(d^2(49-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(49-s)\) は \(0\le s\le49/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{49}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{7}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=7(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(7\) なので \(a_{n+1}-a_n=7^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{7^n-1}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(7-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{7(7^n-1)-6n}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=7a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-7a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<7\)。\(x(7-x)=49/4-(x-7/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,49/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<7,\quad a\le\log_2 \frac{49}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{49}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{49}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{49}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(7-x)=\frac{147}{16}\) を解く。2つの解の和は \(7\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{7}{4},\ \frac{21}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{49},\quad P(T=3)=\frac{6}{343}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/7,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{56} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(7\) 回なので合計2回の表までの平均は \(14\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=14,\quad\text{差}=42} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。