広島大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第088回
この回のテストポイント
- 第1問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：二次方程式の解の符号
- 第4問：回転軸を変える体積計算
- 第5問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第6問：三次関数の増減・接線・定積分
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 放物線の接線と囲まれた面積（17点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-289)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^17=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{16}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{16}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{16}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+289=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第4問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le17\) で曲線 \(y=x(17-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第5問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子17人、女子17人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
第6問 三次関数の増減・接線・定積分（16点）
\(f(x)=x^3-51x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）
（2）\(x=17\) における接線を求めなさい。（4点）
（3）\(\int_0^{51} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=289\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm17,289)\)。底辺の長さは \(34\)、Pから底辺までの高さは \(578\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-17)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{17}(x-17)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(17\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{16}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{16}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-289)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(289\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{17}x(17-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(17-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le289/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(17\pm\sqrt{289-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-34)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=34で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
傾きは \(-867\)、接点のy座標は \(-9826\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。