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広島大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第077回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=36\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第2問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^6=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{5}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{5}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{5}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第3問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-108x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{6+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{6n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　完全順列の漸化式と固定点（16点）

\(6\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）

第6問　絶対値を含む面積の最適化（16点）

\(0\le a\le6\) とする。\(0\le x\le6\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-36=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-6\sqrt2\le a\le6\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm6\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{144-2a^2},\quad\max L=12\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(6\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{5}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{6}+i\sin\frac{2\pi j}{6},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^6-1=(z-1)\prod_{j=1}^{5}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{5}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-6)(x+6)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-6\) で極大、\(x=6\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }432,\quad\text{極小値 }-432} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-432<a<432} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=432\) では \(f(x)-a=(x-12)(x+6)^2\)。\(a=-432\) では \(f(x)-a=(x+12)(x-6)^2\)。

\[ \boxed{a=432:x=-6,12;\quad a=-432:x=-12,6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{6+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{6+j/n} \]

は \(g(x)=1/(6+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{6+x}\,dx=[\frac23(6+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(7\sqrt{7}-6\sqrt{6})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{6+x}\,dx=[\log(6+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{7}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{6}=265\)。全割当ては \(6!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{53}{144}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/6\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le6\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{6}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-18a+72} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(S'(a)=a^2-18\)。定義域内で \(a=6/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=3\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=36(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。