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広島大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第071回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(30\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1 \]

の第1象限の点 \(P(10\cos t,5\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-10x+20\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第4問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le5\) で曲線 \(y=x(5-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（16点）

1から10までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを5より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（4点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（4点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（8点）

第6問　等比数列と奇数番目の項の和（16点）

初項5、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=30-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=30-2a,\quad \frac{15}{2}<a<15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=15(15-a)^2(2a-15)\)。微分すると \((S^2)'=90(15-a)(10-a)\)。存在範囲で \(a=10\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=10,\quad S_{\max}=25\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(15\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=15r\)。

\[ \boxed{r=\frac{5}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{10}+\frac{y\sin t}{5}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(10/\cos t\)、\(5/\sin t\)。面積は \(25/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=50,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(25\(1-x^2/100\)\)。\(-10\le x\le10\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{1000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-5)^2-5\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-5,\quad x=5} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-5)^2=5\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=5\pm\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{5-\sqrt{5}\le x\le 5+\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{5}x(5-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{125}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(5-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{5}x^2(5-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{625}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le25/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(5\pm\sqrt{25-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=5\pi\sqrt{25-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{625}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(5-\lfloor5/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{3}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{3}{5},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=5\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=5(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{5}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。