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広島大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第016回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(138\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=529\\) 上の点 \(P(t,529/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-46x+506\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第4問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{46}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{47}\) を求めなさい。（7点）

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（16点）

1から46までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを23より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（4点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（4点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（8点）

第6問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-69x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=23\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{69} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=138-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=138-2a,\quad \frac{69}{2}<a<69} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=69(69-a)^2(2a-69)\)。微分すると \((S^2)'=414(69-a)(46-a)\)。存在範囲で \(a=46\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=46,\quad S_{\max}=529\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(69\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=69r\)。

\[ \boxed{r=\frac{23}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=529/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-529/t=-529(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{529}=2,\quad(2t,0),(0,1058/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1058/t\)。その積が \(2116\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1058} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1058/t\ge92\)。等号は \(t=23\) のとき。

\[ \boxed{\min=92,\quad P=(23,23)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-23)^2-23\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-23,\quad x=23} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-23)^2=23\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=23\pm\sqrt{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{23-\sqrt{23}\le x\le 23+\sqrt{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(23\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{514589420475}{8796093022208}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(23\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{4398046511104}{24185702762325}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(23-\lfloor23/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{6}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{12}{23},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-46)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=46で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-48668} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-1587\)、接点のy座標は \(-24334\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-1587x+12167} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{7555707}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。