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広島大学 教育・経済など・数学IIまで 数学記述模試 第086回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-675x\) の \(x=15\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

第2問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(15,1),\ \mathbf b=(1,15) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(15\) 個、青玉 \(30\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　絶対値の和と場合分け（25点）

\(f(x)=|x-15|+|x+15|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）

（3）不等式 \(f(x)\le 45\) を解きなさい。（11点）

解答・解説

第1問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(15)=0\) なので \(l:y=-6750\)。差は \((x-15)^2(x+30)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-30,-6750),\quad(15,-6750)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-30,15]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-30}^{15}(x^3-675x+6750)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-\frac{675}{2}x^2+6750x\\)。

\[ \boxed{\frac{1366875}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{15}(f(x)+6750)\,dx=\frac{151875}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=30,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{226}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{15}{113}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=226t^2-60t+226 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{25088}{113},\quad t=\frac{15}{113}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((15-1)/(45-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{7}{66}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{30(30-1)}{45(45-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{7}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(15-1)<75-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{7}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-15,15\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-15\\30&-15\le x\le15\\2x&x>15\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=30,\quad -15\le x\le15} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 45\)、\(2x\le 45\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{45}{2}\le x\le \frac{45}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。