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広島大学 教育・経済など・数学IIまで 数学記述模試 第020回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=12,\ a_{n+2}=12a_{n+1}-11a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第2問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(11,1),\ \mathbf b=(1,11) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を11回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+11\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=11\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=11(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(11\) なので \(a_{n+1}-a_n=11^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{11^n-1}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(11-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{11(11^n-1)-10n}{100}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=11a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-11a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=22,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{122}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{11}{61}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=122t^2-44t+122 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{7200}{61},\quad t=\frac{11}{61}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(11\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{55}{2048}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{2047}{2048}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{55}{2047}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=11+t-22t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=11+\frac1{88}-22(t-\frac1{44})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=11\)、\(f(1)=-10\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{969}{88}\ (\sin\theta=\frac1{44}),\quad\min f=-10\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-22t^2=0\) の解は0と \(1/22\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{22}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。