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広島大学 教育・経済など・数学IIまで 数学記述模試 第015回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=18,\ a_{n+2}=18a_{n+1}-17a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第2問　内分点・内積・三角形の面積（25点）

A(0,0)、B(34,0)、C(0,34)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を17回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 34\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+289\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=17(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(17\) なので \(a_{n+1}-a_n=17^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{17^n-1}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(17-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{17(17^n-1)-16n}{256}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=17a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-17a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(17,0),\quad Q=(\frac{68}{3},\frac{34}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{1156}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{289}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(17\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{17}{16384}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{131071}{131072}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{136}{131071}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+289-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}289&t\le0\\289-t^2&0<t<34\\1445-68t&t\ge34\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-17\le t\le 17\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le17} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>17\) または \(t<-17\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>17\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(34)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1445-68t\)。

\[ \boxed{17<t\le \frac{85}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。