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学習院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第052回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=20,\ a_{n+2}=20a_{n+1}-19a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第2問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(19)=0\)、\(P(-19)=13718\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-38\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(19\) 個、青玉 \(38\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第4問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(19,1),\ \mathbf b=(1,19) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第5問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le19\) で曲線 \(y=x(19-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

第6問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=19,B=19i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=19(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(19\) なので \(a_{n+1}-a_n=19^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{19^n-1}{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(19-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{19(19^n-1)-18n}{324}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=19a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-19a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-722,\quad b=6859} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-19)\(x^2+19x-361\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=19,\frac{19}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{34295} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((19-1)/(57-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{3}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{38(38-1)}{57(57-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{9}{47}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(19-1)<95-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{9}{47}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=38,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{362}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{19}{181}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=362t^2-76t+362 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{64800}{181},\quad t=\frac{19}{181}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{19}x(19-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{6859}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(19-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{19}x^2(19-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{2476099}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le361/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(19\pm\sqrt{361-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=19\pi\sqrt{361-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{130321}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{19}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=19\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{361}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{19}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{19}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。