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学習院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第042回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=18,\ a_{n+2}=18a_{n+1}-17a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第2問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-17|+|x+17|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 51\) を解きなさい。（7点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(17\) 個、青玉 \(34\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第4問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(17,1),\ \mathbf b=(1,17) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第5問　対数の評価と部分積分（16点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le17\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）

（3）

\[ \int_1^{17}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（8点）

第6問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=289\\) 上の点 \(P(t,289/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=17(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(17\) なので \(a_{n+1}-a_n=17^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{17^n-1}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(17-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{17(17^n-1)-16n}{256}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=17a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-17a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-17,17\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-17\\34&-17\le x\le17\\2x&x>17\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=34,\quad -17\le x\le17} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 51\)、\(2x\le 51\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{51}{2}\le x\le \frac{51}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((17-1)/(51-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{8}{75}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{34(34-1)}{51(51-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{4}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(17-1)<85-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{4}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=34,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{290}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{17}{145}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=290t^2-68t+290 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{41472}{145},\quad t=\frac{17}{145}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<17\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log17+1}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=289/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-289/t=-289(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{289}=2,\quad(2t,0),(0,578/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(578/t\)。その積が \(1156\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{578} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+578/t\ge68\)。等号は \(t=17\) のとき。

\[ \boxed{\min=68,\quad P=(17,17)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。