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学習院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第084回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le10\) とする。\(0\le x\le10\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第2問　非復元抽出の組合せと期待値（25点）

袋に赤玉20個、青玉10個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）

第3問　二次方程式の解の符号（25点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+100=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）

第4問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(60\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le10\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{10}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-50a+\frac{1000}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-50\)。定義域内で \(a=10/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=5\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{500}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{95}{203}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-100)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-10\ \text{または}\ t\ge10} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>10} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

解の積は \(100\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{100}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=60-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=60-2a,\quad 15<a<30} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=30(30-a)^2(2a-30)\)。微分すると \((S^2)'=180(30-a)(20-a)\)。存在範囲で \(a=20\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=20,\quad S_{\max}=100\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(30\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=30r\)。

\[ \boxed{r=\frac{10}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。