学習院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第075回
この回のテストポイント
- 第1問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：線分上の点と内積・最大最小
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=4,\ a_{n+1}=2a_n+4\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（25点）
袋に赤玉 \(4\) 個、青玉 \(8\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(4)=0\)、\(P(-4)=128\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-8\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第4問 線分上の点と内積・最大最小（25点）
\(O(0,0),B(8,0),C(0,4)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+4=2(a_n+4)\) なので \(a_n+4=8\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=4(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((4-1)/(12-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{8(8-1)}{12(12-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(4-1)<20-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-4)\(x^2+4x-16\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-8,4)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
長方形の面積は \(32t(1-t)=8-32(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。