学習院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第073回
この回のテストポイント
- 第1問：逆数で線形化し差を足す
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第4問：等周条件と三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 逆数で線形化し差を足す（25点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）
第2問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を4回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第3問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-8x+12\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第4問 等周条件と三角形の面積（25点）
周の長さが \(24\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(4\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-4)^2-4\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-4)^2=4\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=24-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=12(12-a)^2(2a-12)\)。微分すると \((S^2)'=72(12-a)(8-a)\)。存在範囲で \(a=8\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半周長は \(12\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=12r\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。