学習院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第062回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-96x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=32\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{96} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第2問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を32回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(32)=0\)、\(P(-32)=65536\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-64\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第4問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-1024)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-64)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=64で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-3072\)、接点のy座標は \(-65536\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(32\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-32)\(x^2+32x-1024\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=1024\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm32,1024)\)。底辺の長さは \(64\)、Pから底辺までの高さは \(2048\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-32)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{32}(x-32)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。