学習院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第055回
この回のテストポイント
- 第1問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=20,\ a_{n+1}=2a_n+20\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（25点）
袋に赤玉 \(20\) 個、青玉 \(40\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）
第3問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-40x+380\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=20、AC=40、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+20=2(a_n+20)\) なので \(a_n+20=40\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=20(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((20-1)/(60-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{40(40-1)}{60(60-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(20-1)<100-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-20)^2-20\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-20)^2=20\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。