学習院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第038回
この回のテストポイント
- 第1問：逆数で線形化し差を足す
- 第2問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第3問：三次方程式の実数解の個数
- 第4問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 逆数で線形化し差を足す（25点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）
第2問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）
1から12までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを6より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）
第3問 三次方程式の実数解の個数（25点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-108x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）
第4問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-36)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(6-\lfloor6/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-6)(x+6)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-6\) で極大、\(x=6\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a=432\) では \(f(x)-a=(x-12)(x+6)^2\)。\(a=-432\) では \(f(x)-a=(x+12)(x-6)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=36\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm6,36)\)。底辺の長さは \(12\)、Pから底辺までの高さは \(72\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-6)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{6}(x-6)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。