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福岡大学 医学部医学科 数学記述模試 第065回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le28\) で曲線 \(y=x(28-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+28)(n+29)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{58}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-28|+|x+28|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 84\) を解きなさい。（7点）

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=784\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第5問　委員選出と余事象の数え上げ（16点）

男子28人、女子28人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=28,B=28i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{28}x(28-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{10976}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(28-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{28}x^2(28-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{8605184}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le784/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(28\pm\sqrt{784-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=28\pi\sqrt{784-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{307328}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+28}-\frac1{n+29}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{29(n+29)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{29} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-28,28\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-28\\56&-28\le x\le28\\2x&x>28\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=56,\quad -28\le x\le28} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 84\)、\(2x\le 84\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-42\le x\le 42} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-784=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-28\sqrt2\le a\le28\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm28\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{3136-2a^2},\quad\max L=56\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{27720} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{10584} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{21168} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=14(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=28\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=392\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{14}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{28}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。