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福岡大学 医学部医学科 数学記述模試 第042回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{6}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{7}\) を求めなさい。（7点）

第2問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項3、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 9\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-3|+|x+3|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 9\) を解きなさい。（7点）

第4問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-9x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=3\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{9} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第5問　余弦定理・面積・正弦定理（16点）

三角形ABCでAB=3、AC=6、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（4点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-3|=2|z+3|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(3\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{5}{32}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(3\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{16}{35}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=3+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{4} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-3,3\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-3\\6&-3\le x\le3\\2x&x>3\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=6,\quad -3\le x\le3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 9\)、\(2x\le 9\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{9}{2}\le x\le \frac{9}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-6)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=6で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-108} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-27\)、接点のy座標は \(-54\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-27x+27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{2187}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=9+36-36\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{3\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{3} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-3)^2+y^2=4((x+3)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+5)^2+y^2=16} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(15/3\)、半径は \(12/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=9\ (z=-9),\quad\min|z|=1\ (z=-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-3w|=2|1+3w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{9})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{81}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。