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福岡大学 医学部医学科 数学記述模試 第035回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le32\) で曲線 \(y=x(32-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項32、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 96\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-64x+992\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第4問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-96x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=32\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{96} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第5問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(32,0)、半径がともに32の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

第6問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=1024\\) 上の点 \(P(t,1024/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{32}x(32-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{16384}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(32-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{32}x^2(32-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{16777216}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le1024/4\)。左右の境界は

\[ x_\pm=(32\pm\sqrt{1024-4y})/2 \]

。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=32\pi\sqrt{1024-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{524288}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=32+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+31)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{33} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-32)^2-32\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-32,\quad x=32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-32)^2=32\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=32\pm\sqrt{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{32-\sqrt{32}\le x\le 32+\sqrt{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-64)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=64で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-131072} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-3072\)、接点のy座標は \(-65536\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-3072x+32768} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-7077888} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(16\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(16,16\sqrt{3}),\quad Q=(16,-16\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{32\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{256\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=1024/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-1024/t=-1024(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{1024}=2,\quad(2t,0),(0,2048/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(2048/t\)。その積が \(4096\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{2048} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+2048/t\ge128\)。等号は \(t=32\) のとき。

\[ \boxed{\min=128,\quad P=(32,32)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。