福岡大学 医学部医学科 数学記述模試 第026回
この回のテストポイント
- 第1問：区分求積と和の極限
- 第2問：部分分数分解と有限和の評価
- 第3問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第4問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第5問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第6問：1の累乗根と積・距離の和
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第2問 部分分数分解と有限和の評価（17点）
\(a_n=\frac1{(n+17)(n+18)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）
（3）\(S_n\ge\frac1{36}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第3問 二次関数の頂点・解・不等式（17点）
実数全体で \(f(x)=x^2-34x+272\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）
第4問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-51x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=17\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{51} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第5問 非復元抽出の組合せと期待値（16点）
袋に赤玉34個、青玉17個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（4点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（4点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（8点）
第6問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^17=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{16}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{16}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{16}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{17+x}\)、
は \(g(x)=1/(17+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-17)^2-17\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\((x-17)^2=17\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-34)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=34で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-867\)、接点のy座標は \(-9826\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(17\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{16}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{16}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。