福岡大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第059回
この回のテストポイント
- 第1問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第2問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第3問：直角三角形の三角比と内接円
- 第4問：三角比と扇形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 委員選出と余事象の数え上げ（25点）
男子28人、女子28人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）
第2問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-84x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=28\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{84} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第3問 直角三角形の三角比と内接円（25点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=28、AC=56とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）
第4問 三角比と扇形の面積（25点）
半径28、中心角120°の扇形OABを考える。
（1）弧ABの長さを求めなさい。（7点）
（2）扇形の面積を求めなさい。（7点）
（3）弧と弦に囲まれる弓形の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-56)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=56で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-2352\)、接点のy座標は \(-43904\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
面積は \(784\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 三角比と扇形の面積
（1）
中心角は円周全体の1/3なので円周の1/3をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
扇形の面積も円の面積の1/3となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
扇形から三角形OABの面積を引く。三角形の面積は半径の2乗と120°の正弦の積の半分。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。