福岡大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第017回
この回のテストポイント
- 第1問：反復試行と条件付き確率
- 第2問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第3問：データの変換と分散
- 第4問：2群のデータを合わせた平均と分散
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を26回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第2問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-78x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=26\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{78} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第3問 データの変換と分散（25点）
5個のデータは \(24,25,26,27,28\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（7点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（7点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（11点）
第4問 2群のデータを合わせた平均と分散（25点）
それぞれ26個のデータをもつ2群がある。第1群の平均は26、第2群の平均は28、両群の分散は1である。
（1）全データの平均を求めなさい。（7点）
（2）各群の平均を中心とする偏差の2乗和を求めなさい。（7点）
（3）全データの分散を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(26\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-52)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=52で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-2028\)、接点のy座標は \(-35152\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(26\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 2群のデータを合わせた平均と分散
（1）
個数が同じなので2つの平均の平均をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
分散は偏差の2乗和を個数で割った値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全体の平均から各群の平均は1ずつ離れている。偏差を展開すると一次の項の和は0。群内分散1に平均間の分散1が加わる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。