福岡大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第006回
この回のテストポイント
- 第1問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第2問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第3問：データの変換と分散
- 第4問：2群のデータを合わせた平均と分散
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 非復元抽出の組合せと期待値（25点）
袋に赤玉36個、青玉18個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）
第2問 円と直線の交点数・弦の長さ（25点）
円 \\(x^2+y^2=324\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）
第3問 データの変換と分散（25点）
5個のデータは \(16,17,18,19,20\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（7点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（7点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（11点）
第4問 2群のデータを合わせた平均と分散（25点）
それぞれ18個のデータをもつ2群がある。第1群の平均は18、第2群の平均は20、両群の分散は1である。
（1）全データの平均を求めなさい。（7点）
（2）各群の平均を中心とする偏差の2乗和を求めなさい。（7点）
（3）全データの分散を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-324=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(18\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 2群のデータを合わせた平均と分散
（1）
個数が同じなので2つの平均の平均をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
分散は偏差の2乗和を個数で割った値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全体の平均から各群の平均は1ずつ離れている。偏差を展開すると一次の項の和は0。群内分散1に平均間の分散1が加わる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。