同志社大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第073回
この回のテストポイント
- 第1問：楕円の接線と切片・回転体
- 第2問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：三角関数の積分漸化式
- 第5問：標本平均と片側検定・必要標本数
- 第6問：円と直線の交点数・弦の長さ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(60\cos t,30\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ（17点）
\(0\le x\le 60\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+900\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-90x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=30\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{90} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{60}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{61}\) を求めなさい。（7点）
第5問 標本平均と片側検定・必要標本数（16点）
ある母集団の母標準偏差は \(30\) で既知とする。独立な \(3600\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。
（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（4点）
（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（4点）
（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）
第6問 円と直線の交点数・弦の長さ（16点）
円 \\(x^2+y^2=900\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(60/\cos t\)、\(30/\sin t\)。面積は \(900/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(900\(1-x^2/3600\)\)。\(-60\le x\le60\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+900-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-30\le t\le 30\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>30\) または \(t<-30\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>30\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(60)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(4500-120t\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-60)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=60で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-2700\)、接点のy座標は \(-54000\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(30\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(30\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 標本平均と片側検定・必要標本数
（1）
標本平均の標準偏差は
。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot30/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot30)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-900=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。