同志社大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第056回
この回のテストポイント
- 第1問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第2問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：三角関数の積分漸化式
- 第5問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第6問：円と直線の交点数・弦の長さ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-24|=2|z+24|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第2問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=24\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-72x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=24\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{72} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{48}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{49}\) を求めなさい。（7点）
第5問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子24人、女子24人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
第6問 円と直線の交点数・弦の長さ（16点）
円 \\(x^2+y^2=576\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-24)^2+y^2=4((x+24)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(120/3\)、半径は \(96/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-24w|=2|1+24w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=24\)、\(f(1)=-23\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-48t^2=0\) の解は0と \(1/48\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-48)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=48で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-1728\)、接点のy座標は \(-27648\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(24\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(24\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-576=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。