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同志社大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第042回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^31=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{30}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{30}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{30}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第2問　対数方程式の存在条件（17点）

\(\log_2 x+\log_2(31-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）

（3）\(a=\log_2 \frac{2883}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le31\) とする。\(0\le x\le31\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{31+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{31n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　標本平均と片側検定・必要標本数（16点）

ある母集団の母標準偏差は \(31\) で既知とする。独立な \(3844\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。

（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（4点）

（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（4点）

（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(31,1),\ \mathbf b=(1,31) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(31\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{30}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{31}+i\sin\frac{2\pi j}{31},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{62} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^31-1=(z-1)\prod_{j=1}^{30}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{30}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{31} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<31\)。\(x(31-x)=961/4-(x-31/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,961/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<31,\quad a\le\log_2 \frac{961}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{961}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{961}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{961}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(31-x)=\frac{2883}{16}\) を解く。2つの解の和は \(31\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{31}{4},\ \frac{93}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le31\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{31}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{961}{2}a+\frac{29791}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{961}{2}\)。定義域内で \(a=31/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{31}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{29791}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{31+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{31+j/n} \]

は \(g(x)=1/(31+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{31+x}\,dx=[\frac23(31+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(128\sqrt{2}-31\sqrt{31})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{31+x}\,dx=[\log(31+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{32}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　標本平均と片側検定・必要標本数

（1）

標本平均の標準偏差は

\[ \sigma/\sqrt n=31/\sqrt{3844}=1/2 \]

。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。

\[ \boxed{\sigma_{\bar X}=\frac12,\quad Z=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。

\[ \boxed{\text{有意水準5\%で棄却する}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot31/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot31)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。

\[ \boxed{14768} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=62,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{962}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{31}{481}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=962t^2-124t+962 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{460800}{481},\quad t=\frac{31}{481}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。