同志社大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第021回
この回のテストポイント
- 第1問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第2問：対数方程式の存在条件
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：区分求積と和の極限
- 第5問：停止する試行と期待値の連立
- 第6問：内積・角度とベクトルの射影
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-5|=2|z+5|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第2問 対数方程式の存在条件（17点）
\(\log_2 x+\log_2(5-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。
（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）
（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）
（3）\(a=\log_2 \frac{75}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-15x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=5\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{15} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{5n+j}\) とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第5問 停止する試行と期待値の連立（16点）
表の確率が \(1/5\)、裏の確率が \(4/5\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（4点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（4点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）
第6問 内積・角度とベクトルの射影（16点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-5)^2+y^2=4((x+5)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(25/3\)、半径は \(20/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-5w|=2|1+5w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 対数方程式の存在条件
（1）
真数条件は \(0<x<5\)。\(x(5-x)=25/4-(x-5/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,25/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(x(5-x)=\frac{75}{16}\) を解く。2つの解の和は \(5\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-10)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=10で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-75\)、接点のy座標は \(-250\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{5+x}\)、
は \(g(x)=1/(5+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(p=1/5,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
1回の表までの平均は \(5\) 回なので合計2回の表までの平均は \(10\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。