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同志社大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第080回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+5\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=5\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第2問　等比数列と奇数番目の項の和（25点）

初項5、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）

第3問　線分上の点と内積・最大最小（25点）

\(O(0,0),B(10,0),C(0,5)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）

第4問　標本平均と片側検定・必要標本数（25点）

ある母集団の母標準偏差は \(5\) で既知とする。独立な \(100\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。

（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（7点）

（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（7点）

（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=5+t-10t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=5+\frac1{40}-10(t-\frac1{20})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=5\)、\(f(1)=-4\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{201}{40}\ (\sin\theta=\frac1{20}),\quad\min f=-4\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-10t^2=0\) の解は0と \(1/10\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=5\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=5(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{5}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(10(1-t),5t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\[ OP^2=25(5t^2-8t+4)=525(t-4/5)^2+425/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-10,5)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(2,4),\quad\min OP=2\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

長方形の面積は

\[ 50t(1-t)=\frac{25}{2}-50(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{25}{2},\quad P=(5,\frac{5}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　標本平均と片側検定・必要標本数

（1）

標本平均の標準偏差は

\[ \sigma/\sqrt n=5/\sqrt{100}=1/2 \]

。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。

\[ \boxed{\sigma_{\bar X}=\frac12,\quad Z=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。

\[ \boxed{\text{有意水準5\%で棄却する}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot5/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot5)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。

\[ \boxed{385} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。