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同志社大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第061回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（25点）

実数全体で \(f(x)=x^2-54x+702\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）

第2問　等比数列と奇数番目の項の和（25点）

初項27、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）

第3問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(27,1),\ \mathbf b=(1,27) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

第4問　標本平均と片側検定・必要標本数（25点）

ある母集団の母標準偏差は \(27\) で既知とする。独立な \(2916\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。

（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（7点）

（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（7点）

（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-27)^2-27\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-27,\quad x=27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\((x-27)^2=27\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=27\pm\sqrt{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{27-\sqrt{27}\le x\le 27+\sqrt{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=27\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=27(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=9(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=54,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{730}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{27}{365}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=730t^2-108t+730 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{264992}{365},\quad t=\frac{27}{365}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　標本平均と片側検定・必要標本数

（1）

標本平均の標準偏差は

\[ \sigma/\sqrt n=27/\sqrt{2916}=1/2 \]

。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。

\[ \boxed{\sigma_{\bar X}=\frac12,\quad Z=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。

\[ \boxed{\text{有意水準5\%で棄却する}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot27/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot27)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。

\[ \boxed{11203} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。