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同志社大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第025回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+9\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=9\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第2問　等比数列と奇数番目の項の和（25点）

初項9、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）

第3問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(9,1),\ \mathbf b=(1,9) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

第4問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(9\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=9+t-18t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=9+\frac1{72}-18(t-\frac1{36})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=9\)、\(f(1)=-8\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{649}{72}\ (\sin\theta=\frac1{36}),\quad\min f=-8\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-18t^2=0\) の解は0と \(1/18\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=9\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=9(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=3(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=18,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{82}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{9}{41}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=82t^2-36t+82 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{3200}{41},\quad t=\frac{9}{41}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{9}=133496\)。全割当ては \(9!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{16687}{45360}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/9\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。