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東京電機大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第059回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+29)(n+30)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{60}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-58x+812\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第3問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉58個、青玉29個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第4問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le29\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{29}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第5問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-87x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=29\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{87} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3364}+\frac{y^2}{841}=1 \]

の第1象限の点 \(P(58\cos t,29\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+29}-\frac1{n+30}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{30(n+30)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{30} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-29)^2-29\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-29,\quad x=29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-29)^2=29\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=29\pm\sqrt{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{29-\sqrt{29}\le x\le 29+\sqrt{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{1653}{3655}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<29\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log29+1}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-58)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=58で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-97556} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-2523\)、接点のy座標は \(-48778\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-2523x+24389} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{19096587}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{58}+\frac{y\sin t}{29}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(58/\cos t\)、\(29/\sin t\)。面積は \(841/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1682,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(841\(1-x^2/3364\)\)。\(-58\le x\le58\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{195112}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。