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東京電機大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第027回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項28、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 84\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+784=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第3問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を28回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{28+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{28n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(28)=0\)、\(P(-28)=43904\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-56\) で割った余りを求めなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3136}+\frac{y^2}{784}=1 \]

の第1象限の点 \(P(56\cos t,28\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=28+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+27)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{29} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-784)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-28\ \text{または}\ t\ge28} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>28} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(784\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{784}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(28\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{189}{134217728}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{268435455}{268435456}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{126}{89478485}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{28+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{28+j/n} \]

は \(g(x)=1/(28+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{28+x}\,dx=[\frac23(28+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(29\sqrt{29}-56\sqrt{7})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{28+x}\,dx=[\log(28+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{29}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1568,\quad b=21952} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-28)\(x^2+28x-784\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=28,14(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{109760} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{56}+\frac{y\sin t}{28}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(56/\cos t\)、\(28/\sin t\)。面積は \(784/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1568,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(784\(1-x^2/3136\)\)。\(-56\le x\le56\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{175616}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。