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東京電機大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第015回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(7,1),\ \mathbf b=(1,7) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第2問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-14x+42\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第3問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子7人、女子7人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第4問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{14}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{15}\) を求めなさい。（7点）

第5問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(7)=0\)、\(P(-7)=686\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-14\) で割った余りを求めなさい。（8点）

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-7|=2|z+7|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

解答・解説

第1問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=14,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{50}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{7}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=50t^2-28t+50 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{1152}{25},\quad t=\frac{7}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-7)^2-7\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-7,\quad x=7} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-7)^2=7\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=7\pm\sqrt{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{7-\sqrt{7}\le x\le 7+\sqrt{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{364} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{147} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{294} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(7\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{429}{4096}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(7\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{2048}{6435}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-98,\quad b=343} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-7)\(x^2+7x-49\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=7,\frac{7}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{1715} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-7)^2+y^2=4((x+7)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{35}{3})^2+y^2=\frac{784}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(35/3\)、半径は \(28/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=21\ (z=-21),\quad\min|z|=\frac{7}{3}\ (z=-\frac{7}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-7w|=2|1+7w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{21})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。