中央大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第072回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の評価と部分積分
- 第2問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第3問：絶対値を含む面積の最適化
- 第4問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第5問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第6問：剰余定理と三次式の因数分解
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le24\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=576\\) の内部の点 \(Q(12,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第3問 絶対値を含む面積の最適化（17点）
\(0\le a\le24\) とする。\(0\le x\le24\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）
第4問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-24|=2|z+24|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第5問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子24人、女子24人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
第6問 剰余定理と三次式の因数分解（16点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(24)=0\)、\(P(-24)=27648\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（4点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）
（3）P(x)を \(x-48\) で割った余りを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<24\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=12\) を円の式に代入する。\\(y^2=432\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-12m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{576m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{576-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le24/2\)。面積の2乗は \(d^2(576-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(576-s)\) は \(0\le s\le576/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le24\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(S'(a)=a^2-288\)。定義域内で \(a=24/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-24)^2+y^2=4((x+24)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(120/3\)、半径は \(96/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-24w|=2|1+24w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(P(x)=(x-24)\(x^2+24x-576\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。