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中央大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第063回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{22}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{23}\) を求めなさい。（7点）

第2問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(11,1),\ \mathbf b=(1,11) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+11)(n+12)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{24}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=121\\) 上の点 \(P(t,121/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(11\) 個、青玉 \(22\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　絶対値の和と場合分け（16点）

\(f(x)=|x-11|+|x+11|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）

（3）不等式 \(f(x)\le 33\) を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(11\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{88179}{1048576}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(11\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{524288}{2028117}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=22,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{122}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{11}{61}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=122t^2-44t+122 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{7200}{61},\quad t=\frac{11}{61}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+11}-\frac1{n+12}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{12(n+12)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=121/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-121/t=-121(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{121}=2,\quad(2t,0),(0,242/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(242/t\)。その積が \(484\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{242} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+242/t\ge44\)。等号は \(t=11\) のとき。

\[ \boxed{\min=44,\quad P=(11,11)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((11-1)/(33-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{5}{48}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{22(22-1)}{33(33-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{5}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(11-1)<55-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{5}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-11,11\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-11\\22&-11\le x\le11\\2x&x>11\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=22,\quad -11\le x\le11} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 33\)、\(2x\le 33\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{33}{2}\le x\le \frac{33}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。