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中央大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第024回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-8x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第2問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(8,1),\ \mathbf b=(1,8) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第3問　逆数で線形化し差を足す（17点）

\[ a_1=1/8,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=8,B=8i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　停止する試行と期待値の連立（16点）

表の確率が \(1/8\)、裏の確率が \(7/8\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（4点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（4点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）

第6問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-16x+56\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-8x}(1-8x)\)。指数因子は正なので \(x=1/8\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{8},\quad\max f=\frac1{8e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{8x+1}{64}e^{-8x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(8a+1)e^{-8a}}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-8a}\) と \(ae^{-8a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=16,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{65}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{16}{65}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=65t^2-32t+65 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{3969}{65},\quad t=\frac{16}{65}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{8}-\frac1{n+8}=\frac{n}{8(n+8)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+8}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=4(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=8\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=32\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{4}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{8}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{64},\quad P(T=3)=\frac{7}{512}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(p=1/8,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{72} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

1回の表までの平均は \(8\) 回なので合計2回の表までの平均は \(16\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=16,\quad\text{差}=56} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-8)^2-8\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-8,\quad x=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-8)^2=8\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=8\pm\sqrt{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{8-\sqrt{8}\le x\le 8+\sqrt{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。