中央大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第083回
この回のテストポイント
- 第1問：線分上の点と内積・最大最小
- 第2問：反射による経路の数え上げ
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：直角三角形の三角比と内接円
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 線分上の点と内積・最大最小（25点）
\(O(0,0),B(32,0),C(0,16)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）
第2問 反射による経路の数え上げ（25点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(32\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（7点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（7点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（11点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-48x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=16\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{48} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第4問 直角三角形の三角比と内接円（25点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=16、AC=32とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-32,16)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
長方形の面積は \(512t(1-t)=128-512(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(16\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(17\) 回、左が \(15\) 回なので \(\binom{32}{15}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{32}{16}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/17\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-32)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=32で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-768\)、接点のy座標は \(-8192\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
面積は \(256\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。