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中央大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第074回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=729\\) の内部の点 \(Q(\frac{27}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

第2問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(27\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第3問　逆数で線形化し差を足す（25点）

\[ a_1=1/27,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 54\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+729\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{27}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{2187}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{27}{2},\pm \frac{27}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{27}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{729m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{729-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=27\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le27/2\)。面積の2乗は \(d^2(729-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(729-s)\) は \(0\le s\le729/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{729}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{27}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{27}=4005791208408693667174771274 \]

。全割当ては \(27!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{14006262966463963871240459}{38072970106357874688000000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/27\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{27}-\frac1{n+27}=\frac{n}{27(n+27)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+27}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+729-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}729&t\le0\\729-t^2&0<t<54\\3645-108t&t\ge54\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-27\le t\le 27\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>27\) または \(t<-27\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>27\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(54)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(3645-108t\)。

\[ \boxed{27<t\le \frac{135}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。