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中央大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第058回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　線分上の点と内積・最大最小（25点）

\(O(0,0),B(48,0),C(0,24)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）

第2問　集合の包含と人数の計算（25点）

120人のクラスで、集合Aの人数は72人、集合Bは48人、両方に属する人数は24人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le24\) とする。\(0\le x\le24\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第4問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(24-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 108\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(48(1-t),24t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\[ OP^2=576(5t^2-8t+4)=5576(t-4/5)^2+4576/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-48,24)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(\frac{48}{5},\frac{96}{5}),\quad\min OP=\frac{48}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

長方形の面積は \(1152t(1-t)=288-1152(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=288,\quad P=(24,12)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{96} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{72} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le24\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{24}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-288a+4608} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-288\)。定義域内で \(a=24/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=12\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=2304(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<24\)。\(x(24-x)=576/4-(x-24/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,576/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<24,\quad a\le\log_2 144} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 144:2\text{個};\quad a=\log_2 144:1\text{個};\quad a>\log_2 144:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(24-x)=108\) を解く。2つの解の和は \(24\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=6,\ 18} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。