千葉工業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第079回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の真数条件と単調性
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：複素数の回転と正三角形
- 第4問：内分点・内積・三角形の面積
- 第5問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第6問：委員選出と余事象の数え上げ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の真数条件と単調性（17点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-29)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（5点）
（2）\(F(x)=\log_2 1682\) を解きなさい。（5点）
（3）\(F(x)\le\log_2 1682\) を解きなさい。（7点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（17点）
実数全体で \(f(x)=x^2-58x+812\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）
第3問 複素数の回転と正三角形（17点）
複素数平面で \(A=29,B=29i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）
第4問 内分点・内積・三角形の面積（17点）
A(0,0)、B(58,0)、C(0,58)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）
第5問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-29x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
第6問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子29人、女子29人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-29)=1682\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-29)^2-29\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\((x-29)^2=29\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|B-A|=29\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-29x}(1-29x)\)。指数因子は正なので \(x=1/29\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{29x+1}{841}e^{-29x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-29a}\) と \(ae^{-29a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。