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千葉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第084回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,6,0),C(0,0,9) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第2問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-3x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第3問　集合の包含と人数の計算（17点）

15人のクラスで、集合Aの人数は9人、集合Bは6人、両方に属する人数は3人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=9\\) 上の点 \(P(t,9/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=4,\ a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

第6問　定義域のある二次関数とパラメータ（16点）

\(0\le x\le 6\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+9\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=18\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{108}{49},\frac{54}{49},\frac{36}{49}),\quad OH=\frac{18}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(9\)、Cからこの底面までの高さは \(9\) なので体積は \(27\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{63}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-3x}(1-3x)\)。指数因子は正なので \(x=1/3\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{3},\quad\max f=\frac1{3e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{3x+1}{9}e^{-3x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(3a+1)e^{-3a}}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-3a}\) と \(ae^{-3a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{9} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=9/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-9/t=-9(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{9}=2,\quad(2t,0),(0,18/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(18/t\)。その積が \(36\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+18/t\ge12\)。等号は \(t=3\) のとき。

\[ \boxed{\min=12,\quad P=(3,3)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(3\) なので \(a_{n+1}-a_n=3^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{3^n-1}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(3-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{3(3^n-1)-2n}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=3a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-3a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+9-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}9&t\le0\\9-t^2&0<t<6\\45-12t&t\ge6\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-3\le t\le 3\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

判別式より \(t>3\) または \(t<-3\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>3\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(6)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(45-12t\)。

\[ \boxed{3<t\le \frac{15}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。