千葉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第044回
この回のテストポイント
- 第1問：空間の垂線と四面体
- 第2問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第3問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第4問：双曲線の接線と不変な面積
- 第5問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第6問：絶対値の和と場合分け
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 空間の垂線と四面体（17点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）
第2問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-20x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）
1から40までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを20より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）
第4問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=400\\) 上の点 \(P(t,400/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第5問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（16点）
\(a_1=20,\ a_{n+1}=2a_n+20\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（8点）
第6問 絶対値の和と場合分け（16点）
\(f(x)=|x-20|+|x+20|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）
（3）不等式 \(f(x)\le 60\) を解きなさい。（8点）
解答・解説
第1問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=120\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底面OABの面積は \(400\)、Cからこの底面までの高さは \(60\) なので体積は \(8000\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-20x}(1-20x)\)。指数因子は正なので \(x=1/20\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{20x+1}{400}e^{-20x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-20a}\) と \(ae^{-20a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(20-\lfloor20/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=400/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-400/t=-400(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(800/t\)。その積が \(1600\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+800/t\ge80\)。等号は \(t=20\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+20=2(a_n+20)\) なので \(a_n+20=40\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(a_j/2^j=20(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-20,20\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 60\)、\(2x\le 60\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。