千葉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第040回
この回のテストポイント
- 第1問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第2問：区分求積と和の極限
- 第3問：集合の包含と人数の計算
- 第4問：楕円の接線と切片・回転体
- 第5問：対数の真数条件と単調性
- 第6問：剰余定理と三次式の因数分解
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=16、AC=32、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第2問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第3問 集合の包含と人数の計算（17点）
80人のクラスで、集合Aの人数は48人、集合Bは32人、両方に属する人数は16人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）
第4問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(32\cos t,16\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第5問 対数の真数条件と単調性（16点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-16)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（4点）
（2）\(F(x)=\log_2 512\) を解きなさい。（4点）
（3）\(F(x)\le\log_2 512\) を解きなさい。（8点）
第6問 剰余定理と三次式の因数分解（16点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(16)=0\)、\(P(-16)=8192\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（4点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）
（3）P(x)を \(x-32\) で割った余りを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{16+x}\)、
は \(g(x)=1/(16+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(32/\cos t\)、\(16/\sin t\)。面積は \(256/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(256\(1-x^2/1024\)\)。\(-32\le x\le32\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-16)=512\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(P(x)=(x-16)\(x^2+16x-256\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。