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千葉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第035回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=27、AC=54、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le27\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{27}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）

1から54までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを27より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=27,B=27i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　対数の真数条件と単調性（16点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-27)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（4点）

（2）\(F(x)=\log_2 1458\) を解きなさい。（4点）

（3）\(F(x)\le\log_2 1458\) を解きなさい。（8点）

第6問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-54x+702\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=729+2916-2916\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{27\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{729}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<27\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log27+1}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(27-\lfloor27/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{7}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{14}{27},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{27}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=27\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{729}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{9}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=9\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-27)=1458\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=54} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{27<x\le54} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-27)^2-27\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-27,\quad x=27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-27)^2=27\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=27\pm\sqrt{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{27-\sqrt{27}\le x\le 27+\sqrt{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。