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千葉大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第076回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（25点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(28)=0\)、\(P(-28)=43904\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（7点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）

（3）P(x)を \(x-56\) で割った余りを求めなさい。（11点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（25点）

中心O(0,0)、A(28,0)、半径がともに28の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）

第3問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-2352x\) の \(x=28\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から56までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを28より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1568,\quad b=21952} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(P(x)=(x-28)\(x^2+28x-784\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=28,14(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{109760} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(14\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(14,14\sqrt{3}),\quad Q=(14,-14\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{28\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{196\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(28)=0\) なので \(l:y=-43904\)。差は \((x-28)^2(x+56)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-56,-43904),\quad(28,-43904)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-56,28]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-56}^{28}(x^3-2352x+43904)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-1176x^2+43904x\\)。

\[ \boxed{4148928} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{28}(f(x)+43904)\,dx=460992 \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(28-\lfloor28/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{1}{2},\quad\text{独立である}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。