J 受験ヒーロー

千葉大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第046回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（25点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(7)=0\)、\(P(-7)=686\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（7点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）

（3）P(x)を \(x-14\) で割った余りを求めなさい。（11点）

第2問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-49)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=8,\ a_{n+2}=8a_{n+1}-7a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から14までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを7より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-98,\quad b=343} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(P(x)=(x-7)\(x^2+7x-49\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=7,\frac{7}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{1715} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=49\)。

\[ \boxed{y=14x-49,\quad y=-14x-49} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm7,49)\)。底辺の長さは \(14\)、Pから底辺までの高さは \(98\)。

\[ \boxed{686} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-7)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{7}(x-7)^2\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{686}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=7(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(7\) なので \(a_{n+1}-a_n=7^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{7^n-1}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(7-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{7(7^n-1)-6n}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=7a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-7a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(7-\lfloor7/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{2}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{4}{7},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。