千葉大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第042回
この回のテストポイント
- 第1問：データの変換と分散
- 第2問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第3問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第4問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 データの変換と分散（25点）
5個のデータは \(19,20,21,22,23\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（7点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（7点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（11点）
第2問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-441)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=21,\ a_{n+1}=2a_n+21\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）
1から42までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを21より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）
解答・解説
第1問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(21\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=441\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm21,441)\)。底辺の長さは \(42\)、Pから底辺までの高さは \(882\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-21)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{21}(x-21)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+21=2(a_n+21)\) なので \(a_n+21=42\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=21(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(21-\lfloor21/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。