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青山学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第036回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-62x+930\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=32,\ a_{n+2}=32a_{n+1}-31a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第3問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）

1から62までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを31より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）

第4問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-31|=2|z+31|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第5問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{31+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{31n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　空間の垂線と四面体（16点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(31,0,0),B(0,62,0),C(0,0,93) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-31)^2-31\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-31,\quad x=31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-31)^2=31\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=31\pm\sqrt{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{31-\sqrt{31}\le x\le 31+\sqrt{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=31(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(31\) なので \(a_{n+1}-a_n=31^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{31^n-1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(31-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{31(31^n-1)-30n}{900}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=31a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-31a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(31-\lfloor31/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{8}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{16}{31},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-31)^2+y^2=4((x+31)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{155}{3})^2+y^2=\frac{15376}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(155/3\)、半径は \(124/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=93\ (z=-93),\quad\min|z|=\frac{31}{3}\ (z=-\frac{31}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-31w|=2|1+31w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{93})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{8649}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{31+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{31+j/n} \]

は \(g(x)=1/(31+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{31+x}\,dx=[\frac23(31+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(128\sqrt{2}-31\sqrt{31})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{31+x}\,dx=[\log(31+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{32}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=186} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=186\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{1116}{49},\frac{558}{49},\frac{372}{49}),\quad OH=\frac{186}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底面OABの面積は \(961\)、Cからこの底面までの高さは \(93\) なので体積は \(29791\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{6727}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。